No ítem Lógica Relacional ou Funcional [Relational or Functional Logic] Holzman&Newman assinalam que a invenção da geometria não euclidiana por Riemann, em meados do século XIX, demonstrou a incapacidade do paradigma euclidiano dar conta da investigação da natureza do espaço. Atrelada a uma visão kantiana de que a Matemática consistia em um conjunto de verdades “profundas” sobre os aspectos quantitativos da ontologia (realidade do mundo) a geometria euclidiana passou então a ser questionada tanto por matemáticos como por filósofos. O desafio de alguns pensadores tornou-se a investigação das contradições da matematização do mundo pela “crônica científica” e suas relações com o mundo como ele, de fato, é.
Esclarecem que, ao não mais se basear em aspectos da realidade física a matemática passou a ser entendida como sistematização - não totalmente arbitrária - de um determinado modo de pensar, ou seja, como Lógica. Isso teria conduzido ao entendimento revolucionário da Matemática como muito mais próxima à Lógica do que dos fatos e proporcionou um extraordinário progresso tanto da Lógica como da Matemática.
Ao longo do item os autores buscam amparo na demonstração de equações algébricas que confirmam a insuficiência da matematização do modelo kantiano e suas consequências, ou seja, a emergência das teorias de tipificação da Lógica que amparam o Princípio Matemático (redução da Matemática à Lógica), particularmente o pensamento de Russel&Whitehead - que conseguia congregar sem conflito o aparato aristotélico e as concepções da Matemática e Lógica emergentes no final do século XIX e início do século XX.
Fred e Lois atribuem ao pensamento crítico de Gödel nos anos sessenta a denúncia dos impasses na aplicação universalizante dos modelos matemáticos; que estes [os modelos matemáticos] são modelos exclusivamente daquela área do conhecimento [Matemática] e que portanto não seria razoável pretender subjugar todas as visões de mundo a apenas um único ponto de vista: o sistema metamatemático-lógico.
Encerram o item destacando que, curiosamente, Gödel não toma partido nem da Matemática nem da Lógica mas encoraja novos percursos para estas áreas do conhecimento particularmente via teorias da função recursiva – que é o fundamento matemático da cibernética e da tecnologia computacional.
Segundo eles [os autores] teria sido Ludwig Wittgenstein quem corajosamente ousou enfrentar questões fundamentais pertinentes à Lógica, Matemática e Filosofia. É a contribuição de Wittgenstein que pretendem expor ao longo do desenvolvimento subsequente do capítulo iniciando sua argumentação favorável às idéias do eminente pensador judeu-austríaco pelo item intitulado O Jovem Wittgenstein e a Filosofia da Linguagem [The Early Wittgenstein and The Philosophy of Language].
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